А. Н. Аверкин

Рассмотрим преобразование пространства-времени вида

такое, что каждая его точка смещается на малую величину . Соответственно этому преобразованию окрестность каждой точки пространства-времени деформируется следующим образом:

где Тензор , ассоциированный тензору , можно представить в виде совокупности симметричного и антисимметричного тензоров:

В свою очередь, тензор , который естественно назвать тензором деформации пространства-времени, запишем как

где скаляр есть коэффициент объемного сжатия пространства-времени, а тензор , след которого равен нулю, можно назвать тензором сдвига пространства-времени.

Что касается тензора , то он осуществляет малый поворот окрестности точки , т. е. ее лоренцево преобразование. Это видно хотя бы из того, что приращение вектора , которое в этом случае записывается как , в силу антисимметричности тензора , ортогонально самому вектору , т. е. . В связи с этим тензор можно назвать тензором лоренцева преобразования пространства-времени.

Казалось бы, мы можем теперь поставить в соответствие малому вектору деформации пространства-времени четырехмерный векторный потенциал , а тензору лоренцева преобразования — тензор электромагнитного поля . Однако, ситуация не так проста. Когда мы говорим, что вектор деформации мал, то подразумеваем, что существует некая фундаментальная длина , и для всех компонент вектора деформации выполняется соотношение . Если же это условие не выполняется, то теория электромагнетизма перестает быть линейной, потенциал электромагнитного поля теряет свой векторный характер и, вообще, система отсчета делается неинерциальной. Таким образом, указанная фундаментальная длина должна быть очень малой, чтобы не быть обнаружимой экспериментально. Кроме того, согласно принципам общей теории относительности, деформации пространства-времени соответствует переход к новой системе отсчета, и, следовательно, возникающие при этом силы инерции должны были бы сопровождаться появлением электромагнитного поля, что нарушает принцип эквивалентности инерции и тяготения. Такого рода возражения легко, однако, обойти, если считать, что компоненты вектора деформации выражаются бесконечно малыми числами, отличными, тем не менее, от нуля.

Существование таких чисел, еще недавно, представлялось бы абсурдным, однако, сравнительно недавно была безупречно, с математической точки зрения, построена теория числовой оси, в которой множество действительных чисел расширяется до множества так называемых гипердействительных чисел. Если обозначать гипердействительные числа, в отличие от соответствующих действительных, прямым шрифтом, то произвольное гипердействительное число можно записать в виде:

где da — бесконечно малое число. Бесконечно малые гипердействительные числа не удовлетворяют аксиоме Архимеда, верной для всех действительных чисел, отличных от нуля. Эта аксиома утверждает, что для любых двух отрезков c и d можно меньший из них (c) отложить столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, по длине превосходящий больший (d). В связи с этим, множества содержащие гипердействительные числа называют неархимедовами. Математический анализ, построенный на новом представлении об устройстве числовой оси, — он называется нестандартным анализом [1, 2] — является формализацией соответствующих воззрений Лейбница и интуитивно представляется более естественным, чем традиционный; во всяком случае, в этом анализе понятие дифференциала, в отличие от анализа Ньютона-Коши, имеет вполне ясный математический смысл.

Поскольку теперь можно понимать электромагнитное поле как результат деформации пространства-времени, понимаемого как четырехмерное множество гипердействительных точек, то имеет смысл восстановить в правах термин “эфир”, используя его как синоним термина “пространство-время”. При этом действительную составляющую эфира можно назвать грубым эфиром, а инфинитезимальную его часть — тонким эфиром. Чтобы описывать бесконечно малую деформацию эфира конечными числами, следует положить

где — потенциал и — тензор электромагнитного поля, а является бесконечно малой константой соответствующей размерности. Если эфир претерпевает тонкую деформацию, то окрестность его точки поворачивается на угол и приобретает скорость .

*

Таким образом, в настоящей работе показано, что естественно и, как представляется, единственно правильно считать пространство-время неархимедовым объектом. Его тонкая деформация приводит к возникновению электромагнитного поля, а грубая деформация соответствует переходу к новой системе отсчета, при этом вектор бесконечно малой деформации и соответствующий ему потенциал электромагнитного поля преобразуются как контрвариантные векторы.